0,999999… = 1 ?

Αν σας ρωτούσε κάποιος αν ισχύει ότι: 0,999999… = 1 (άπειρα 9άρια) τι θα απαντούσατε; Μάλλον όχι.
Επειδή πάντα θα λείπει μια μονάδα στο τέλος που θα έκανε το 0,999999… + 0,000000…1 = 1
Σωστά;

Όχι κάνετε λάθος! Το 0,999999… = 1    ακριβώς!!!

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
—————–

Έστω α = 0,999999…
10α = 10 * 0,999999…
10α = 9,99999…
10α = 9 + 0,999999…
10α = 9 + α
10α – α = 9
9α = 9
α = 9/9
Άρα α = 1 και α = 0,999999… όπως ορίσαμε στην αρχή!
Άρα 1 = 0,999999…

Δεν το πιστεύετε; Ας δούμε τι θα συνέβαινε αν είχαμε αντί για 0,999999…
π.χ. 0,333333…

Έστω β = 0,333333…
10β = 10 * 0,333333…
10β = 3,33333…
10β = 3 + 0,333333…
10β = 3 + β
10β – β = 3
9β = 3
β = 3/9
β = 1/3
Άρα β = 1/3 και β = 0,333333… όπως ορίσαμε στην αρχή!
Άρα 1/3 = 0,333333…

Κανένα πρόβλημα!

Έχετε ακόμα αμφιβολίες;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β’:
——————

9/9 = 1
9 * (1/9) = 1
9 * (0,111111…) = 1
0,999999… = 1